Курсовая работа: Колебания

(4.11)

называемой диссипативной функцией.

Силы (4.10) должны быть добавлены к правой стороне уравнений Лагранжа

(4.12)

Диссипативная функция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяется интенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы. Имеем:

Поскольку F — квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой стороне равенства равна 2 F . Таким образом,

(4.13)

т е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Так как диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда F > 0, т. е. квадратичная форма (4.11) существенно положительна.

Уравнения малых колебаний при наличии трения получаются добавлением сил (4.8) в правую сторону уравнений (3.5):

(4.14)

Положив в этих уравнениях

xk = Ak ert ,

получим по сокращении на ert систему линейных алгебраических уравнений для постоянных Ak

(4.15)

Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение, определяющее значения r :

(4.16)

Это — уравнение степени 2s относительно r . Поскольку все его коэффициенты вещественны, то его корни либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом вещественные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют отрицательную вещественную часть. В противном случае координаты и скорости, а с ними и энергия системы экспоненциально возрастали бы со временем, между тем как наличие диссипативных сил должно приводить к уменьшению энергии.

Вынужденные колебания при наличии трения

Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному в п. 1.2 вынужденные колебания. Мы остановимся здесь подробно на представляющем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы.

Прибавив в правой стороне уравнения (4.1) внешнюю силу f cos yt и разделив на т, получим уравнение движения в виде

(5.1)

Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой части eiγt вместо cos yt :

К-во Просмотров: 797
Бесплатно скачать Курсовая работа: Колебания