1.8 Оптимальный выбор шага

Предположим, что при интегрировании от точки до точки с шагом погрешность приближенно равна . Так как это соответствует росту погрешности со скоростью, приблизительно равной , то , где – функция, определяющая шаг. Положим и получим оценку интеграла, который приближенно равен полной погрешности:

С другой стороны, затраты будут пропорциональны числу шагов, которое приближенно равно

Методами вариационного исчисления можно показать, что если мы хотим минимизировать затраты при некотором фиксированном значении погрешности , то следует сохранять постоянной величину . Это означает, что окончательная погрешность должна быть одинаковой на каждом шаге.

В современных программах[4] , реализующих методы Рунге-Кутты, обязательно используется некоторый алгоритм автоматического изменения шага интегрирования. Интуитивно ясно, что на участках плавного изменения решения счет можно вести с достаточно крупным шагом. В то же время, на тех участках, где происходят резкие изменения поведения решения, необходимо выбирать мелкий шаг интегрирования. Обычно начальное значение шага задет пользователь или оно определено в программе. Далее шаг интегрирования изменяется в соответствии с величиной, получаемой в ходе вычисления оценки локальной погрешности.

Существует достаточно много способов оценки локальной погрешности, среди которых так называемое правило Рунге. Однако в моей программе я использовал самый простой и в то же время эффективный способ оценки локальной погрешности, который описан в разделе 3.1. «Описание программы Ilya RK-4 версия 1.43». Этот метод базируется на удвоении или делении пополам длины шага в зависимости от отношения локальной погрешности и максимально локальной допустимой погрешности .

2. Практическая часть

2.1 Описание программы « Ilya RK -4 версия 1.43»

Программа для нахождения интегральной кривой, удовлетворяющей поставленной задаче Коши написана на языке высокого уровня Borland C <