Курсовая работа: Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

Теорема 2 (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G — конечная группа, Н — подгруппа. Рассмотрим

разбиение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н. Во-первых, всегда

g Î gH. Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо

совпадают. Действительно, если g3 Î g1H Ç g2H, то g 3 = g 1 h 1 = g 2 h 2 для некоторых

h 1 , h 2 ÎH. Но тогда g1 = g 2 h 2 h 1

-1 Î g2H, а g 2 =g 1 h 1 h 2

-1 Îg1H. Отсюда следует, что g 1 H

= g 2 Н.

Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа

элементов. Действительно, рассмотрим отображение H ® gH, задаваемое правилом

g ® gh. Разные элементы при этом отображении переходят в разные.

Действительно, если gh1= gh 2 , то, умножая равенство слева на g -1 , получим h 1 = h 2 .

Следовательно, |Н| = |gН|. Таким образом, конечное множество G разбилось на

некоторое множество (пусть к) подмножеств, состоящих из |Н| элементов. Тогда

|G| = к •|Н|.

Теорема доказана.

Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются

делителями числа |G|.

Доказательство. Если о(g) == к, то множество {g, g 2 ,... , gk-1, е} образует подгруппу в

G. Следствие доказано.

1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими

соотношениями.

Рассмотрим алфавит из символов х, у, х -1 , у -1 . Конечную последовательность

символов будем называть словом. Если z - символ, договоримся записывать z n

вместо {

n

z...z . Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать