Курсовая работа: Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

со всеми элементами группы. Центр группы G является подгруппой и обозначается Z(G) . Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же

номером.

2. Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.

G=< x, y| x ² = y ² =( xy )³ > , n = 24.

По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной

системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы.

xy = yxyx y ² =( yxyxxyxy ) xy , yxyxxyxy = e , x ⁸ = y ⁸ = e

2.1. Доказательство того, что в группе n элементов.

Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число

элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

через образующие.

Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем

дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже

имеющимся с помощью определяющих соотношений: x ⁸ = e , y ⁸ = e , x ² = y ² =( xy )³ .

Если нам это удается, то для полученного “старого” слова

процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е.

дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.

1. e

2. x

3. y

4. x²

5. xy= x² yxyx