Курсовая работа: Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N выбирают наиболее

"простое" слово. Если одно слово группы F можно получить из другого с

помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе

G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый

элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

6

символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если , х n = 1 (n > 1), то х

-1 = х n- 1.

На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

ходных символов, т.е. будем считать, что x 1 < x 2 < ... < x n . В слове

1 k

1 k u = t a ...t a можно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

т.е. i 1 i t t + ¹ . Пусть имеются два слова 1 k

1 k u = t a ...t a и 1 m

1 m v = s b ... s b , где i i t , s Î{ x 1 ... x n }.

Будем считать, что u < v , если 1 k 1 m a + ... +a < b + ... + b . В случае

1 k 1 m a + ... +a = b + ... + b будем считать, что u < v , если 1 1 t < s или 1 1 t = s , но

1 1 a > b . Если 1 1 t = s и 1 1 a = b , то для сравнения слов u и v надо рассмотреть

следующие символы и т.д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

слов, расположенных по возрастанию.

1, x, y, x 2 ,xy, yx, y 2 ,x 3 ,x 2 y,xyx,xy 2 , yx 2 , yxy, y 2 x, y 3 ,...

Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G

лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом

смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой

задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

слова равными в силу соотношений (1).