Курсовая работа: Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций
Таким образом, производная f ’( z ) имеет те же периоды 2 и 2, что и первоначальная функция. С другой стороны, будучи однозначной, как и f ( z ) , f ’( z ) не может иметь на конечном расстоянии других особых точек, кроме полюсов, так как если f ( z ) голоморфна в некоторой точке, то производная f ’( z ) тоже голоморфна в этой точке, а если f ( z ) имеет полюс в некоторой точке, то и f ’( z ) будет иметь полюс в этой точке. Следовательно, f ’( z ) есть мероморфная функция, допускающая два периода 2 и 2, и согласно определению она будет эллиптической функцией с теми же периодами, что и первоначальная функция.
Теорема 2. Эллиптическая функция, отличная от постоянного, имеет по крайней мере один полюс в параллелограмме периодов.
Действительно, допуская противное, мы имели бы целую функцию, отличную от постоянного. Ее параллелограмм периодов есть ограниченная часть плоскости и в этой области, включая ее границу, наша функция голоморфна, а значит, и подавно непрерывна, а потому и ограничена. Следовательно, существует такое положительное число М , что во всем основном параллелограмме периодов имеем
Так как во всех остальных параллелограммах сети значения функции повторяются, то неравенство |f ( z ) |<M будет справедливо для всех точек z плоскости. Итак, мы имеем целую функцию f ( z ) ограниченную во всей плоскости. Согласно теореме Лиувилля отсюда заключаем, что f ( z ) приводится к постоянному. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости теоремы.
Следствия
1 Если две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одни и те же полюсы с одинаковыми главными частями, то они отличаются лишь постоянным слагаемым.
В самом деле, положим, что и две эллиптические функции с одинаковыми периодами 2 и 2, имеющие в параллелограмме периодов одни и те же полюсы с одинаковыми главными частями. Тогда их разность - будет двоякопериодической функцией с периодами 2 и 2, без полюсов, а значит, по доказанной теореме эта разность равняется тождественно постоянному.
2 Если две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одинаковые нули и полюсы одной и той же кратности, то они отличаются лишь постоянным множителем.
Действительно, положим, что и две эллиптические функции с одинаковыми периодами 2 и 2, имеющие в параллелограмме периодов одинаковые нули и полюсы одной и той же кратности.
Тогда их отношение представляет двоякопериодическую функцию с периодами 2 и 2, причем это отношение не имеет полюсов. Следовательно, по доказанной теореме это отношение равно тождественно постоянному.
Теорема 3 . Сумма вычетов эллиптической функции относительно всех полюсов, расположенных в параллелограмме периодов, равна нулю.
Прежде всего заметим, что если на границе параллелограмма периодов имеются полюсы эллиптической функции, то мы можем немного сдвинуть этот параллелограмм так, чтобы все полюсы, расположенные на первоначальном параллелограмме периодов, оказались бы внутри сдвинутого параллелограмма. Обозначим вершины этого параллелограмма через
на его сторонах нет полюсов функции f ( z ) . Согласно общей теореме о вычетах мы получим сумму вычетов S относительно всех полюсов, лежащих внутри параллелограмма, если вычислим интеграл , распространив его на периметр этого параллелограмма, проходимый в положительном направлении. Таким образом, имеем
(3)
где все интегрирования совершаются по прямолинейным отрезкам, соединяющим указанные точки. Объединяя первый и третий интегралы, делаем в этом последнем подстановку
и пользуясь периодичностью, находим
Таким образом, сумма первого и третьего интегралов выражения (3), равная
есть нуль потому, что интегрирования совершаются по одному и тому же отрезку в противоположных направлениях.
То же самое можно утверждать относительно суммы второго и четвертого интегралов, если в первом интеграле совершить подстановку
.
Возвращаясь к формуле (3), мы убеждаемся, что S равно нулю.
Теорема 4 . Эллиптическая функция принимает в параллелограмме периодов всякое значение (конечное или бесконечность) одинаковое число раз. Пусть - произвольное комплексное число. Покажем, что число корней уравнения
лежащих в параллелограмме периодов, совпадает с числом полюсов функции f ( z ) , расположенных в этом параллелограмме. Само собой разумеется, что при счете числа нулей функции