Курсовая работа: Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций

(10)

где R () - полином 4-й степени относительно . Таким образом, эллиптическая функция второго порядка

может быть рассмотрена как обращение эллиптического интеграла первого рода (10).

Пусть теперь равно , т. е. эллиптическая функция второго порядка , имеет в точке двойной полюс. В этом случае удовлетворяет соотношению

точка будет полюс третьего порядка для , ее нули расположены в точках

Образуем функцию

которая будет эллиптической с теми же периодами, что и , шестого порядка; эта функция имеет полюс шестого порядка в точке и нули второго порядка в точках ,,. Последнее заключение сделано потому, что в точках ,, функция Ф ( z ) обращается в нуль вместе со своей производной.

Заметив, что есть эллиптическая функция с теми же периодами, что и Ф ( z ), того же порядка и с теми же нулями и полюсами, мы на основании теоремы 2 (следствие 2) заключаем:

Откуда

. (11)

Полагая

Найдем

, (12)

где - полином третьей степени относительно . Таким образом,

эллиптическая функция второго порядка

и в случае двойного полюса может быть рассмотрена как обращение эллиптического интеграла первого рода вида (12).

2. Примеры. приложения

2.1 Вычисление длины дуги эллипса

Для начала введем понятие эллиптического интеграла. Эллиптическим интегралом называется интеграл вида

(13)

где R – рациональная функция своих аргументов и - многочлен третьей или четвертой степени. В отдельных случаях этот интеграл может выражаться через элементарные функции, как например, интеграл