Курсовая работа: Уравнения смешанного типа

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 1. Если существует решение задачи (2)то оно единственно только тогда, когда при всех

Действительно, если выполнено условие (16) и решение задачи (2) существует, то оно единственно. Пусть при некоторых и нарушено условие (16), т. е. Тогда однородная задача (2) (где имеет нетривиальное решение

Выражение для на основании следующих формул

приводим к виду

Поскольку при любом и

где и положительные постоянные, то функция

где в силу теоремы Хилби имеет счётное множество положительных нулей.

Следовательно, при некоторых может иметь счётное множество нулей независимо от . Поскольку любое положительное число ,то оно может принимать значения, близкие к нулям Поэтому при больших n выражение может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема Чтобы такой ситуации не было, надо показать существование и таких, что при любом и больших справедлива оценка

Представим (16) в следующем виде

(36)

где

Как известно функция строго убывает, функция строго возрастающая по , поэтому величина

есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при больших . Поэтому рассмотрим только выражение

Используя асимптотическую формулу функции при

Получаем