Курсовая работа: Випадковий процес в математиці
При довільному ? > 0, то X(t) - ергодичний по математичному очікуванню стаціонарний випадковий процес.
Дійсно, з огляду на вираження
Для Т≥Т0 маємо
(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)|dτ ε(1 – T1 /T).
Переходячи до межі при Т > ?, знайдемо
0 ? lim ? |k(?)|d? = ?.
Оскільки тут ? > 0 - довільна, скільки завгодно мала величина, то виконується умова ергодичності по математичному очікуванню. Оскільки це треба з умови. Про необмежене убування k(?), те теорему варто вважати доведеної.Доведені теореми встановлюють конструктивні ознаки ергодичності стаціонарних випадкових процесів.
Нехай
X(t) = m + X(t), m=const.
Тоді M[X(T)] = m, і якщо X(t) - ергодичний стаціонарний випадковий процес, то умова ергодичності Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|2 } = 0 після нескладних перетворень можна представити у вигляді
Lim M{[(1/T) ∫ X(t)dt – m]2 } = 0
Звідси треба, що якщо X(t) - ергодичний по математичному очікуванню стаціонарний випадковий процес, то математичне очікування процесу X(t) = m + X(t) приблизно може бути обчислене по формулі
M = (1/T) ? x(t)dt
Тут Т - досить тривалий проміжок часу;
x(t) - реалізація процесу X(t) на відрізку часу [0, Т].
Можна розглядати ергодичність стаціонарного випадкового процесу X(t) по кореляційній функції.
Стаціонарний випадковий процес X(t) називається ергодичним по кореляційній функції, якщо
Lim M {[ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)]2 ]} = 0
Звідси треба, що для ергодичного по кореляційній функції стаціонарного випадкового процесу X(t) можна покласти
k (?) = (1/T) ? x(t)x(t + ?)dt
при досить великому Т.
Виявляється, умоваобмеженості k(?) досить для ергодичності по кореляційній функції стаціонарного нормально розподіленого процесу X(t).
Помітимо, випадковий процес називається нормально розподіленим, якщо будь-яка його функція розподілу є нормальною.
Необхідною й достатньою умовою ергодичності стаціонарного нормально розподіленого випадкового процесу є співвідношення
τ0 : lim (1/T) ∫ [k(τ)2 + k(τ + τ0) k(τ – τ0) ] (1 – τ/T)d? = 0
Література
1.Кремер М.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика. – К., 2004
2.Кожевников Ю.В. Теорія ймовірностей і математична статистика. – К., 2005
3.Гнеденко Б.Д. Курс теорії ймовірностей. – К., 2005