Курсовая работа: Випадковий процес в математиці
Aδ ≥ 0 : lim P[| X(tn ) – X(t)| > δ] = 0
Збіжність у середньому позначають також:
X(t) = lim X(tn )
Виявляється, з вибіркової безперервності треба безперервність майже напевно, з безперервності майже напевно й у середньому треба безперервність по ймовірності.
Теорема. Якщо X(t) – Гильбертів випадковий процес, безперервний у середньому, то mx (t) – безперервна функція й має місце співвідношення
Lim M [X(tn )] = M [X(t)] = M [lim X(tn )].
Теорема. Гильбертів випадковий процес X(t) безперервний у середньому тоді й тільки тоді, коли безперервна його ковариаціона функція R(t, t') у крапці (t, t).
Гильбертів випадковий процес X(t) називається диференцуємим у середньому квадратичному, якщо існує випадкова функція X(t) = dX(t)/dt така, що
X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+?t) - X(t) / ?t
(t € T, t +?t € T),
т.е. коли
Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t))2 ] = 0
Випадкову функцію X(t) будемо називати похідній у середньому квадратичному випадкового процесу X(t) відповідно в крапці t або на T.
Теорема. Гильбертів випадковий процес X(t) диференціюємо в середньому квадратичному у крапці t тоді й тільки тоді, коли існує δ2 R(t, t’) / δt?t' у крапці (t, t'). При цьому:
Rx (t, t’) = M[X(t)X(t’)] = δ2 R(t, t’) / δt?t'.
Якщо Гильбертів випадковий процес диференціюємо на Т, то його похідна в середньому квадратичному також є Гильбертівим випадковим процесом; якщо вибіркові траєкторії процесу диференцуєми на Т с імовірністю 1, то з імовірністю 1 їхні похідні збігаються з похідними в середньому квадратичному на Т.
Теорема. Якщо X(t) - Гильбертів випадковий процес, то
M[dX(t) / dt] = (d / dt) M[X(t)] = dmx (t) / dt.
Нехай (0, t) – кінцевий інтервал, 0 <t1 < … <tn = t – його крапки
X(t) - Гильбертів випадковий процес.
Yn = ∑ X(ti )(ti – ti-1 ) (n = 1,2, …)...
Тоді випадкова величина
Y(t) = lim Yn
max (ti – ti-1 )→0
Називається інтегралом у середньому квадратичному процесу X(t) на (0, t) і позначається:
Y(t) = ? X(?)d?.
Теорема. Інтеграл Y(t) у середньому квадратичному існує тоді й тільки тоді, коли коваріаціона функція R(t, t') Гильбертіва процесу X(t) безперервна на Т?Т і існує інтеграл
Ry (t, t’) = ∫ ? R(?, ?') d?d?’
Якщо інтеграл у середньому квадратичному функції X(t) існує, то