Курсовая работа: Випадковий процес в математиці

Для доказу запишемо очевидні рівності:

k(?+??)-k(?) = M[X(t+?+??)X(t)] - M[X(t+?)X(t)] =

= M{X(t)[X(t+?+??) - X(t+?)]}

Потім, застосовуючи нерівність Шварца до співмножників у фігурній дужці й з огляду на співвідношення:

K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t.

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0

Одержимо:

0 ≤ [k(τ+∆τ)-k(τ)]² ≤ M[X(t)² ]M[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)|² ] =

= 2D[D-k(??)].

Переходячи до межі при ??>0 і беручи до уваги умова теореми про безперервність k(?) у крапці ?=0, а також перша рівність системи

K(0) = В = σ² , знайдемо

Lim k(?+??) = k(?)

Оскільки тут ? - довільне число, теорему варто вважати доведеної.

4.Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів

Нехай Х(t) - стаціонарний випадковий процес на відрізку часу [0,T] з характеристиками

M[X(t)] = 0, K(t, t') = M[X(t)X(t')] = k(?),

? = t' - t, (t, t') € T?T.

Ергодична властивість стаціонарного випадкового процесу полягає в тім, що по досить тривалій реалізації процесу можна судити про його математичне очікування, дисперсію, кореляційній функції.

Більш строго стаціонарний випадковий процес Х(t) будемо називати ергодичним по математичному очікуванню, якщо

Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|² } = 0

Теорема

Стаціонарний випадковий процес Х(t) з характеристиками:

M[X(t)] = 0, K(t, t') = M[X(t)X(t')] = k(?),

? = t' - t, (t, t') € T?T

є ергодичним по математичному очікуванню тоді й тільки тоді, коли

Lim (2/ T) ? k(?) (1 - ?/t)d? = 0.

Для доказу, мабуть, досить переконатися, що справедливо рівність

M{(1/ T) ∫X(t)dt|² } = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?

Запишемо очевидні співвідношення