Курсовая работа: Випадковий процес в математиці

родина, що не мала автомобіля, але які бажають його придбати, буде мати автомобіль через два роки.

Рішення: знайдемо матрицю переходу Р₂ через два роки:

0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21

0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51

0 0 1 0 0 1 0 0 1

Тобто шукані в прикладі 1) і 2) імовірності рівні відповідно

р₁₁ =0,64, р₂₃ =0,51

Далі розглянемо Марковський випадковий процес із дискретними станами й безперервним часом, у якому, на відміну від розглянутої вище ланцюга Маркова, моменти можливих переходів системи зі стану не фіксовані заздалегідь, а випадкові.

При аналізі випадкових процесів з дискретними станами зручно користуватися геометричною схемою – так званим графіком подій. Звичайно стану системи зображуються прямокутниками (кружками), а можливі переходи зі стану в стан - стрілками (орієнтованими дугами), що з'єднують стану.

Приклад. Побудувати граф станів наступного випадкового процесу: пристрій S складається із двох вузлів, кожний з яких у випадковий момент часу може вийти з ладу, після чого миттєво починається ремонт вузла, що триває заздалегідь невідомий випадковий час.

Рішення. Можливі стани системи: S_{0 –} обидва вузли справні; S₁ – перший вузол ремонтується, другий справний; S₂ – другий вузол ремонтується, перший справний; S₃ – обидва вузли ремонтуються.

Стрілка, напрямку, наприклад, з S₀ в S₁ , означає перехід системи в момент відмова першого вузла, з S₁ в S₀ – перехід у момент закінчення ремонту цього вузла.На графі відсутні стрілки з S₀ в S₃ і з S₁ в S₂ . Це пояснюється тим, що виходи вузлів з ладу передбачається незалежними друг від друга й, наприклад, імовірностями одночасного виходу з ладу двох вузлів (перехід з S₀ в S₃ ) або одночасне закінчення ремонтів двох вузлів (перехід з S₃ в S₀ ) можна зневажити.

3.Стаціонарні випадкові процеси

Випадковий процес Х(t) називають стаціонарним у вузькому змісті, якщо

F(x₁ , …, x_n ; t₁ , …, t_n ) = F(x₁ , …, x_n; t₁ +∆, …, t_n +∆)

При довільних

n≥1, x₁ , …, x_n , t₁ , …, t_n ; ∆; t₁ € T, t_i + ∆ € T...

Тут F(x₁ , …, x_n ; t₁ , …, t_n ) – n-мірна функція розподілу випадкового процесу Х(t).

Випадковий процес Х(t) називають стаціонарним у широкому змісті, якщо

m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)

(t € T, t' € T, t + ?€ T), t' + ?€ T)

Очевидно, що зі стаціонарності у вузькому змісті треба стаціонарність у широкому змісті.

З формул:

m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)

(t € T, t' € T, t + ?€ T), t' + ?€ T)

Треба, що для процесу, стаціонарного в широкому змісті, можна записати

m (t) = m_x (0) = const;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t') = K(t - t', 0) = K (0, t' - t)