Курсовая работа: Випадковий процес в математиці

R_Y (t, t’) = ∫ ? R(?, ?')d?d?’

K_y (t, t’) = ∫ ? K(?, ?')d?d?’

Тут R_y (t, t’) = M[Y(t)Y(t’)], K_y (t, t’) = M[Y(t)Y(t’)] –кореляційна функції випадкового процесу Y(t).

Теорема. Нехай X(t) - Гильбертів випадковий процес із функцією R(t, t'), ?(t) - речовинна функція й існує інтеграл

? ? ?(t)?(t')R(t, t')dtdt'

Тоді існує в середньому квадратичному інтеграл

? ?(t)X(t)dt.

Випадкові процеси:

X_i (t) = V_i φ_i (t) (i = 1n)

Де φ_i (t) – задані речовинні функції

V_i - випадкові величини з характеристиками

M(V_I = 0), D(V_I ) = D_I , M(V_i V_j ) = 0 (i ≠ j)

Називають елементарними.

Канонічним розкладанням випадкового процесу X(t) називають його подання у вигляді

X(t) = m_x (t) + ∑ V_i φ_i (t) (t € T)

Де V_i – коефіцієнти, а φ_i (t) – координатні функції канонічного розкладання процесу X(t).З відносин:

M(V_I = 0), D(V_I ) = D_I , M(V_i V_j ) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m_x (t) + ∑ V_i φ_i (t) (t € T)

Треба:

K(t, t’) = ∑ D_i φ_i (t)φ_i (t’)

Цю формулу називають канонічним розкладанням кореляційної функції випадкового процесу.

У випадку рівняння

X(t) = m_x (t) + ∑ V_i φ_i (t) (t € T)

Мають місце формули:

X(t) = m_x (t) + ∑ V_i φ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m_x (τ)dτ + ∑ V_i ∫ φ_i (t)dt.

Таким чином, якщо процес X(t) представлений його канонічним розкладанням, те похідна й інтеграл від нього також можуть бути представлені у вигляді канонічних розкладань.

2.Марковські випадкові процеси з дискретними станами

Випадковий процес, що протікає в деякій системі S з можливими станами S₁ , S₂ , S₃ , …, називається Марковським, або випадковим процесом без наслідку, якщо для будь-якого моменту часу t₀ імовірні характеристики процесу в майбутньому (при t>t₀ ) залежить тільки від його стану в цей момент t₀ і не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан; тобто не залежать від її поводження в минулому (при t<t₀ ).