Курсовая работа: Випадковий процес в математиці

K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t.

Видно, що k(?) - парна функція, при цьому

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0

Тут D - дисперсія стаціонарного процесу

Х(t), α_i (I = 1, n) – довільні числа.

Перша рівність системи

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0

треба з рівняння K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t. Перша рівність

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0 - простий наслідок нерівності Шварца для перетинів X(t), X(t') стаціонарного випадкового процесу X(t). Остання нерівність:

K(0) = В = σ² ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j ) ≥ 0

Одержують у такий спосіб:

∑ ∑ α_i α_j k(t_i - t_j ) = ∑ ∑ K(t_i , t_j )α_i α_j = ∑ ∑ M[(α_i X_i )(α_j X_j )] = M[(∑ α_i X_i )² ] ≥0

З огляду на формулу кореляційної функції похідній dX(t)/dt випадкового процесу, для стаціонарної випадкової функції X(t) одержимо

K₁ (t, t’) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t’)/dt’)] = δ² K(t, t’) / δtδt’ = δ² k(t’ - t) / δt?t'

Оскільки

?k(t' - t) / ?t = (?k(?) / ??) * (?? / ??) = - ?k(?) / ??,

δ² k(t’ - t) / δtδt’ = - (δ² k(τ) / δτ²⁾ * (δτ / δt’) = - (δ² k(τ) / δτ²⁾

те K₁ (t, t’) = k₁ (τ) = - (δ² k(τ) / δτ²⁾ , τ = t' - t.

Тут K₁ (t, t’) і k₁ (τ) – кореляційна функція першій похідній стаціонарного випадкового процесу X(t).

Для n-й похідній стаціонарного випадкового процесу формула кореляційної функції має вигляд:

K_n (τ) = (-1)ⁿ * (δ²ⁿ *k(τ) / δτ²ⁿ )

Теорема. Стаціонарний випадковий процес X(t) з кореляційною функцією k(?) безперервний у середньому квадратичному у крапці t € T тоді й тільки тоді, коли

Lim k(?) = k(0)

Для доказу запишемо очевидний ланцюжок рівностей:

M [|X(t+τ)-X(T)|² ] = M[|X(t)|² ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M[X(t)² ] =

= 2D-2k(?) = 2[k(0)-k(?)].

Звідси очевидно, що умова безперервності в середньому квадратичному процесу X(t) у крапці t € T

Lim M[|X(t+τ) – X(t)|² ] = 0

Має місце тоді й тільки тоді, коли виконується Lim k(?) = k(0)