Курсовая работа: Випадковий процес в математиці

Багато процесів можна приблизно вважати Марковськими. Наприклад, процес гри в шахи; система S – група шахових фігур. Стан системи характеризується числом фігур супротивника, що збереглися на дошці в момент t₀ . Імовірність того, що в момент t>t₀ матеріальна перевага буде на боці одного із супротивників, залежить у першу чергу від того, у якому стані перебуває система в цей момент t_0, а не від того, коли й у якій послідовності зникли фігури з дошки до моменту t₀ .

У ряді випадків передісторією розглянутих процесів можна просто зневажити й застосовувати для їхнього вивчення Марковські моделі.

Марковським випадковим процесом з дискретними станами й дискретним часом (або ланцюгом Маркова) називається Марковський процес, у якому його можливі стани S₁ , S₂ , S_3, … можна заздалегідь перелічити, а перехід зі стану в стан відбувається миттєво (стрибком), але тільки в певні моменти часу t_0, t_1, t_2, ..., називані кроками процесу.

Позначимо p_ij – імовірність переходу випадкового процесу (системи S) зі стану I у стан j. Якщо ці ймовірності не залежать від номера кроку процесу, то такий ланцюг Маркова називається однорідної.

Нехай число станів системи звичайно й дорівнює m. Тоді її можна характеризувати матрицею переходу P₁ , що містить всі ймовірності переходу:

p₁₁ p₁₂ … p_1m

p₂₁ p₂₂ … p_2m

… … … …

P_m1 p_m2 … p_mm

Природно, по кожному рядку ∑ p_ij = 1, I = 1, 2, …, m...

Позначимо p_ij (n) – імовірністю того, що в результаті n кроків система перейде зі стану I у стан j. При цьому при I = 1 маємо ймовірності переходу, що утворять матрицю P₁ , тобто p_ij (1) = p_ij

Необхідно, знаючи ймовірності переходу p_ij , знайти p_ij (n) – імовірності переходу системи зі стану I у стан j за n кроків. Із цією метою будемо розглядати проміжне (між I і j) стан r, тобто будемо вважати, що з первісного стану I за k кроків система перейде в проміжний стан r з імовірністю p_ir (k), після чого за що залишилися n-k кроків із проміжного стану r вона перейде в кінцевий стан j з імовірністю p_rj (n-k). Тоді по формулі повної ймовірності

P_ij (n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k) – рівність Маркова.

Переконаємося в тім, що, знаючи всі ймовірності переходу p_ij = p_ij (1), тобто матрицю P₁ переходу зі стану в стан за один крок, можна знайти ймовірність p_ij (2), тобто матрицю P₂ переходи зі стану в стан за два кроки. А знаючи матрицю P₂ , - знайти матрицю P₃ переходи зі стану в стан за три кроки, і т.д.

Дійсно, думаючи n = 2 у формулі P_ij (n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k), тобто k=1 (проміжне між кроками стан), одержимо

P_ij (2) = ∑ p_ir (1)p_rj (2-1) = ∑ p_ir p_rj

Отримана рівність означає, що P₂ =P₁ P₁ = P² ₁

Думаючи n = 3, k = 2, аналогічно одержимо P₃ = P₁ P₂ = P₁ P₁ ² = P₁ ³ , а в загальному випадку P_n = P₁ ⁿ

Приклад

Сукупність родин деякого регіону можна розділити на три групи:

родини, що не мають автомобіля й не збираються його купувати;

родини, що не мають автомобіля, але які бажаютьйого придбати;

родини, що мають автомобіль.

Проведене статистичне обстеження показало, що матриця переходу за інтервал в один рік має вигляд:

0,8 0,1 0,1

0 0,7 0,3

0 0 1

(У матриці P₁ елемент р₃₁ = 1 означає ймовірність того, що родина, що має автомобіль, також буде його мати, а, наприклад, елемент р₂₃ = 0,3 – імовірність того, що родина, що не мала автомобіля, але намагаються його придбати, здійснить свій намір у наступному році, і т.д.)

Знайти ймовірність того, що: