Курсовая работа: Випадковий процес в математиці

Уведених вище характеристик випадкового процесу виявляється недостатньо, тому що вони визначаються тільки одномірним законом розподілу. Якщо для випадкового процесу Х₁ (t) характерно повільна зміна значень реалізацій зі зміною t, то для випадкового процесу Х₂ (t) ця зміна проходить значно швидше. Інакше кажучи, для випадкового процесу Х₁ (t) характерна тісна імовірнісна залежність між двома його сполученнями Х₁ (t₁ ) і Х₁ (t₂ ), у той час як для випадкового процесу Х₂ (t) ця залежність між сполученнями Х₂ (t₁ ) і Х₂ (t₂ ) практично відсутній. Зазначена залежність між сполученнями характеризується кореляційною функцією.

Визначення: Кореляційною функцією випадкового процесу Х(t) називається невипадкова функція

K_x (t₁ , t₂ ) = M[(X(t₁ ) – a_x (t₁ ))(X(t₂ ) – a_x (t₂ ))] (1.)

двох змінних t₁ і t₂ , що при кожній парі змінних t₁ і t₂ дорівнює ковариації відповідних сполучень Х(t₁ ) і Х(t₂ ) випадкові процеси.

Очевидно, для випадкового процесу Х(t₁ ) кореляційна функція K_x1 (t₁ , t₂ ) убуває в міру збільшення різниці t₂ - t₁ значно повільніше, ніж K_x2 (t₁ , t₂ ) для випадкового процесу Х(t₂ ).

Кореляційна функція K_x (t₁ , t₂ ) характеризує не тільки ступінь тісноти лінійної залежності між двома сполученнями, але й розкид цих сполучень щодо математичного очікування a_x (t). Тому розглядається також нормована кореляційна функція випадкового процесу.

Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу Х(t) називається функція:

P_x (t₁ , t₂ ) = K_x (t₁ , t₂ ) / σ_x (t₁ )σ_x (t₂ ) (2)

Приклад № 1

Випадковий процес визначається формулою X(t) = X cosωt, де Х – випадкова величина. Знайти основні характеристики цього процесу, якщо М(Х) = а, D(X) = σ^2.

Рішення:

На підставі властивостей математичного очікування й дисперсії маємо:

a_x (t) = M(X cosωt) = cos?t * M(X) = a cos?t,

D_x (t) = D(X cosωt) = cos² ωt * D(X) = σ² cos² ωt.

Кореляційну функцію знайдемо по формулі (1.)

K_x (t₁ , t₂ ) = M[(X cosωt₁ – a cosωt₁ ) (X cos ωt₂ – a cosωt₂ )] =

= cosωt₁ cosωt₂ * M[(X – a)(X - a)] = cosωt₁ cosωt₂ * D(X) = σ² cosωt₁ cosωt₂ .

Нормовану кореляційну функцію знайдемо по формулі (2.):

P_x (t₁ , t₂ ) = σ² cosωt₁ cosωt₂ / (σ cosωt₁ )( σ cosωt₂ ) ≡ 1.

Випадкові процеси можна класифікувати залежно від того, плавно або стрибкоподібно міняються стани системи, у якій вони протікають, або нескінченна множина цих станів і т.п. Серед випадкових процесів особливе місце належить Марковському випадковому процесу.

Теорема. Випадковий процес X(t) є Гильбертівим тоді й тільки тоді, коли існує R(t, t') для всіх (t, t')€ T*T.

Теорію Гильбертівих випадкових процесів називають кореляційною.

Помітимо, множина Т може бути дискретним і континуальним. У першому випадку випадковий процес Х_t називають процесом з дискретним часом, у другому – з безперервним часом.

Відповідно сполучення Х_t можуть бути дискретними й безперервними випадковими величинами.

Випадковий процес називається Х(t) вибірково неправильним, і інтегрувальним у крапці ω€?, якщо його реалізація x(t) = x(t, ?) відповідно безперервна, диференцуєма й інтегрувальна.

Випадковий процес Х(t) називається безперервним: майже, напевно, якщо

P(A)=1, A = {ω € Ω : lim x(t_n ) = x(t)}

У середньому, якщо

Lim M[(X(t_n ) – X(t))² ] = 0