Курсовая работа: Випадковий процес в математиці

Думаючи тут ? = t' - t, d? = dt' і з огляду на умови (t' = T) > (? = T - t),

(t' = 0)>(? = -t), одержимо

З = (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T² ) ∫ dt ? k(?)d? =

= -(1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T² ) ∫ dt ? k(?)d?

Думаючи в першому й другому доданках правої частини цієї рівності відповідно ? = -?', d? = -d?', ? = T-?', d? = -d?', знайдемо

З = (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T² ) ∫ dt ? k(T - ?)d?

Застосовуючи формулу Дирихле для подвійних інтегралів, запишемо

З = (1/T² ) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T² ) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T² ) ∫ (T - τ) k(τ)dτ + (1/T² ) ∫ ?k (T - ?)d?

У другому доданку правої частини можна покласти ?' = T-?, d? = -d?', після чого будемо мати

З = (1/Т² ) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ – (1/T² ) ∫ (T - ?) k(?)d? = 2/T ? (1- (?/T)) k(?)d?

Звідси й з визначення констант видно, що рівність

M{(1/ T) ∫X(t)dt|² } = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?

Справедливо.

Теорема

Якщо кореляційна функція k(?) стаціонарного випадкового процесу X(t) задовольняє умові

Lim (1/T) ? |k(?)| dt = 0

Те X(t) є ергодичним по математичному очікуванню.

Дійсно, з огляду на співвідношення

M{(1/ T) ∫X(t)dt|² } = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?

Можна записати

0 ? (2/Т) ? (1 - ?/t) k(?)d? ? (2/T) ? (1- ?/t) |k(?)|d? ? (1/T) ? |k(?)|d?

Звідси видно, що якщо виконано умову, те

Lim (2/T) ? (1 - ?/T) k(?)d? = 0

Тепер, беручи до уваги рівність

З = (1/Т² ) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ – (1/T² ) ∫ (T - ?) k(?)d? = 2/T ? (1- (?/T)) k(?)d?

І умова Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|² } = 0

Ергодичності по математичному очікуванню стаціонарного випадкового процесу X(t), знаходимо, що необхідне доведено.

Теорема.

Якщо кореляційна функція k(?) стаціонарного випадкового процесу