Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів

Многочлен x² y + xy² - симетричний. Навпаки, многочлен x³ - 3y² не є симетричним: при заміні x на y , а y на x він перетворюється на многочлен y³ - 3x² , який не збігається з первинним.

Приведемо найважливіші приклади симетричних многочленів. Як відомо з арифметики, сума двох чисел не міняється при перестановці доданків, тобто:

x + y = y + x

для будь-яких чисел x і y . Ця рівність показує, що многочлен x + y є симетричним. Так само із закону комутативності множення xy = yx

витікає, що добуток xy є симетричним многочленом. Симетричні многочлени x + y і xy є найпростішими. Їх називають елементарними симетричними многочленами від x і y . Для них використовують спеціальні позначення:

Кожен многочлен від основних симетричних, є симетричним.

Окрім і , часто зустрічаються так звані степеневі суми, тобто многочлени x² + y² , x³ + y³ , . . ., xⁿ + yⁿ , . . . Прийнято означати многочлен xⁿ + yⁿ через s_n . Таким чином,

. (1)

Ця формула дозволяє послідовно знаходити S_n через і . Так за допомогою цієї формули можна послідовно знайти:

;

і т . д. У таблиці 1 зведені вирази степеневих сум s₁ , s₂ , . . ., s₁₀ через і ці вирази будуть нам корисні при розв’язанні задач.

Таблиця 1 Вираження степеневих сум s_n = xⁿ + yⁿ через

1.2 Властивості симетричних многочленів

Встановимо тепер деякі елементарні властивості довільних симетричних многочленів.

1. Сума, різниця і добуток симетричних многочленів над деяким полем Р є симетричними многочленами над цим полем.

Це твердження очевидне.

Наслідок.

Множина всіх симетричних многочленів над полем Р утворює область цілісності з одиницею відносно дій додавання і множення. Зрозуміло, що це кільце є підкільцем всіх многочленів над полем Р.

2. Якщо симетричний многочлен f (x₁ , x₂ , …, x_n ) містить деякий член

(2)