Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів

Згідно з зауваженням 3, вищий член цього многочлена дорівнює (7). Крім того, він однорідний, бо такими є всі многочлени , а тому, очевидно, і їх добуток. Степінь многочлена дорівнює степеню многочлена f (x₁ , x₂ , …, x_n ) бо в них однакові вищі члени.

Візьмемо

f₁ (, , … x_n ) f (, , x_n ) - .

Зрозуміло, що f (, , x_n ) — також однорідний симетричний многочлен степеня N. Але (, , x_n ) вже не містить усіх членів цього степеня. Справді, він не містить вищого члена (7), який у цій різниці знищується. Крім того, в цій різниці знищуються всі n! членів, які дістаємо з вищого члена перестановкою показників бо ці члени, за властивістю 2, входять в обидва симетричні многочлени.

Тепер зрозуміло, що (, , x_n ) може містити лише члени, нижчі за (7). Застосовуємо до цього многочлена той самий метод. Нехай вищий член многочлена має вигляд:

(8)

Вважаючи

B

і утворюючи різницю:

f₂ (, , … x_n ) f₁ (, , x_n ) - ,

бачимо, що (, , x_n ) є симетричний і однорідний многочлен степеня N, який не може містити ні члена (7), ні члена (8), а тільки члени, нижчі за них. Оскільки, взагалі, різних членів степеня N може бути лише скінченне число (зауваження 1), то, продовжуючи цей процес, ми на якомусь кроці обов'язково дістанемо, що різниця

f_k+1 (x₁ , x₂ , …x_п ) = f_k (x₁ , x₂ , …x_п ) - g_k (x₁ , x₂ , …x_n )

не може містити жодного члена степеня N, тобто дорівнює нулю. Тоді з рівностей

,

,

.

випливає, що

.

А оскільки всі виражені через добутки то многочлен f (, , x_n ) подано як многочлен від основних симетричних функцій f (, , x_n ) = (9)

коефіцієнти якого знайдено з коефіцієнтів даного многочлена за допомогою операцій додавання і віднімання і тому належать полю Р. Теорему доведено. Справедлива також теорема про є д.и н і с т ь многочлена

2) Доведення єдиності.

Нехай маємо

f (, , x_n ) =

f (, , x_n ) =

Тоді різниця

=