Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів
Доведення. Оскільки, як відомо, від довільної перестановки показників
до всякої іншої перестановки цих показників можна перейти за допомогою скінченного числа транспозицій, то досить показати, що при транспозиції довільних двох показників степенів у члені (2) ми дістаємо знову деякий член симетричного многочлена
f (x1 , x2 , …, xn )
Виконуючи, наприклад, транспозицію показників , 
та 
, матимемо член
(3)
За означенням симетричного многочлена
f (
, , …, 
xn ) = f (, , …, 
xn )
Але другий з цих многочленів повинен містити член (3), бо його дістаємо з члена (2) заміною 
на 
і навпаки. Тому внаслідок єдиності канонічної форми і даний многочлен повинен містити член (3).
Наслідок. Якщо
(4)
є вищий член симетричного многочлена, то 
.
Доведення.Справді, припустимо супротивне, тобто що при якомусь 
. На підставі властивості 2 даний многочлен разом з членом (4) містить і член
(5)
Але з умови 
випливає, що член (5) вищий за член (4), тобто член (4) не може бути вищим у многочлені. Ця суперечність доводить наше твердження.
Також можна сформулювати таку важливу властивість симетричних многочленів, яку називають основною теоремою.
Теорема1 (Основна теорема теорії симетричних многочленів): Всякий симетричний многочлен f (x1 , x2 , …, xn ) від п змінних над полем Р можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій 
цих змінних, коефіцієнти якого належать тому самому полю Р. І таке зображення єдине.
Доведення. Зробимо насамперед такі зауваження.
1) Усіх членів певного степеня L, утворених з даних змінних x1 , x2 , …, xn (не враховуючи подібних), може бути лише скінченне число; це число, очевидно, дорівнює числу способів, якими можна подати як суму n невід'ємних цілих упорядкованих доданків.
2) Теорему досить довести для однорідних симетричних многочленів, бо всякий симетричний многочлен можна подати як суму однорідних симетричних многочленів. Справді, всякий многочлен є сумою однорідних многочленів. Якщо ж даний многочлен симетричний, то й кожний складовий однорідний многочлен повинен бути симетричний, бо при переставлянні змінних x1 , x2 , …, xn кожний член може перейти лише в член того самого степеня, тобто в інший член того самого однорідного складового многочлена.
3) Вищий член 
будь-якого симетричного многочлена можна подати як вищий член деякого добутку основних симетричних функцій
Справді, розглянемо добуток
(6)
За наслідком з властивості 2, всі степені 
— невід'ємні числа, тому (6) є многочленом від x1 , x2 , …, xn . За лемою, вищий член цього многочлена дорівнює добутку вищих членів многочленів 
(причому піднесення до степеня слід розглядати як множення однакових многочленів). Оскільки вищі члени
дорівнюють відповідно x1 ; x1 x2 ;…; x1 x2 … xn-1 ; x1 x2 … xn-1 xn , то вищий член добутку (6) дорівнює:
тобто (як це видно після елементарних перетворень) збігається з заданим членом 
Після цих зауважень легко довести теорему.
1) Доведення Існування. Нехай вищий член симетричного многочлена f (x1 , x2 , …, xn ) (який ми в результаті зауваження 2 можемо вважати однорідним многочленом степеня N) дорівнює
(7)
Побудуємо симетричний многочлен