Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів

Зауважимо, що многочлен можна розглядати двояко:як многочлен від x₁ , x₂ , …, x_n (бо від цих змінних залежать ) і як многочлен від нам треба розглянути останнє. Єдиність зображення (9) полягає саме в тому, що многочлени, мають однакові відповідні коефіцієнти, тобто що многочлен має коефіцієнти які дорівнюють нулю, в усіх членах . Але залежні між собою, бо виражаються через ті самі змінні , , x_n . У зв'язку з цим поряд з многочленом від залежних змінних розглянемо такий самий многочлен від незалежних змінних . Тепер нам треба довести, що коли той . Те саме можна сформулювати й інакше: нам треба довести, що коли , то тоді й .

Доведемо це методом математичної індукції по n. Нехай n=1 і . Через те, що в цьому разі дорівнює x₁ , то , бо , що те саме, що й

Нехай тепер п > 1, і наше твердження правильне для будь-якого числа змінних, меншого п. Чи може бути воно несправедливим для якогось многочлена від п змінних? Припустимо, що це так і існує многочлен такий, що , але . Подамо за степенями y_п

де — многочлени від , за нашим припущенням

(11)

Оскільки , то хоч би один з його коефіцієнтів в (10) не дорівнює нулю. Завжди можна вважати, що . Якщо , то надалі міркування проводять відносно многочлена , який дістаємо з після скорочення на. Виходить, що при у_п = 0

(12)

З другого боку, візьмемо в (11) х_п = 0. Тоді , а інші , перетворюються в основні симетричні функції від (п- 1) змінних. Позначимо їх через .Отже, при х_п = 0 з (11) дістаємо:

, 0) = (13)

Порівнюючи (12) з (13) бачимо, що ми прийшли до суперечності з припущенням індукції, а тому висловлене твердження справедливе і для п.

Єдиність зображення (9) доведено.

З основної теореми теорії симетричних многочленів можна зробити важливий висновок.

Теорема 2: Якщо f(x ) — многочлен від однієї змінної над полем Р з коренями (які можуть не належати Р), то будь-який симетричний многочлен f (x₁ , x₂ , …, x_n ) над полем Р при набуває значення, яке є елементом поля Р.

Доведення. Нехай дано якийсь многочлен n-го степеня від одного змінного (в зведеному вигляді) над полем Р:

(14)

Позначимо корені цього многочлена через ; вони можуть і не належати полю Р. Візьмемо тепер довільний симетричний многочлен над Р від п змінних. За основною теоремою теорії симетричних многочленів, многочлен можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій з коефіцієнтами з поля Р, тобто

Візьмемо тепер тут . Тоді за формулами Вієта всі основні симетричні функції дорівнюватимуть відповідним коефіцієнтам многочлена (14) з належним знаком:

……………………………………………………………

У зв'язку з цим

Але тоді елемент поля Р як результат ви конання операцій додавання і множення над елементами з поля Р. Таким чином, . Отже, ми довели таке твердження.