Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів

……………………………………………………………

,

то вони є значеннями деяких симетричних многочленів над Р, аргументи яких є коренями даного многочлена f(х ). З oсновної теореми теорії симетричних многочленів випливає, що завжди можна знайти вираз коефіцієнтів через коефіціeнти даного многочлена, а з теореми 3 зрозуміло, що знайдений многочлен належатиме тому самому кільцю Р [х ], що й даний многочлен.

Зауважимо, що сказане залишається справедливим і для більш загального випадку, коли , де - довільні симетричні многочлени над полем Р.

Розглянутий вище метод доведення основної теореми можна використати для практичного зображення симетричних многочленів через основні симетричні функції.

Приклад. Подати симетричний многочлен над полем

+

+

через основні симетричні функції. Як і при доведенні теореми, запишемо цей многочлен як суму однорідних многочленів. Дістанемо:

де

Спочатку подамо через основні симетричні многочлени. Вищий його член є . Згідно з методикою доведення теореми, від слід відняти многочлен

бо система показників у вищому члені є 2, 1, 0. Але немає потреби фактично виконувати це віднімання. Спираючись на можливість і єдиність зображення даного многочлена у вигляді многочлена досить визначити можливий вигляд членів і скористатися методом невизначених коефіцієнтів.

У різниці знищаться всі члени виду з довільною перестановкою показників 2, 1, 0. Проте одночасно можуть з'явитися члени того самого степеня 3, але з іншою, нижчою системою показників, а саме: 1, 1, 1. Отже, потім треба буде відняти симетричний многочлен

Тому можна записати: ,

де а — невизначений поки що коефіцієнт, тобто:

Щоб знайти а, досить надати деяких числових значень змінним наприклад = 1. Тоді дістанемо 6 = 9 + а. Отже, а = 3. Таким чином,

Аналогічно міркуватимемо відносно многочлена

Можливі системи показників тут будуть 2, 0, 0 і 1, 1, 0. Отже, відніматимемо такі многочлени: