Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів

Частинним випадком таких орбіт є степеневі суми:

O(

Якщо k = l = m, то орбіта є одночленом:

О(.

З цих формул за допомогою співвідношень

(*)

Якщо k = l , то отримаємо

(**)

З цього легко отримати вирази орбіт O(x^k y^l ) через за умови, що

У таблиці 2.3 наведені вирази деяких орбіт O(x^k y^l ) через ,

Таблиця 2.3 Вирази орбіт O(x^k y^l ) через

Наприклад,

Приклад 1. Довести, що якщо x + y + z = 0, то

За таблицею 2.1 маємо:

.

За умовою s₁ = x + y + z = 0, і тому .

Приклад 2 . Довести, що якщо

x + y + z = , то xyz = 0 .

Умова завдання записується у вигляді

З цієї системи рівності знаходимо, що s₂ =0 і s₃ = 0. Рівність s₃ =0 і означає, що xyz=0 .

Приклад 3 . Довести, що якщо x + y + z = 0 і xy + xz + yz = 0, то справедлива рівність

З наведеної таблиці 2.3, легко знаходимо (за умов ) :