Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів

І далі, аналогічно до попереднього, . При = 1 маємо 3 = 3² + b 3, тобто b = 2 і тому

(15)

Отже, дістаємо остаточно

РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ

2.1 Розв’язування систем рівнянь

Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, ліві частини яких симетрично залежать від невідомих x, y. В цьому випадку зручно перейти до нових невідомих . За основною теоремою теорії симетричних многочленів, це завжди можливо. Необхідність такої заміни невідомих полягає в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються (оскільки є многочленом другої степені від x, y). Іншими словами, як правило, розв’язування системи відносно нових невідомих простіше, ніж розв’язування первинної системи.

Після того, як знайдені значення величин , треба знайти значення первинних невідомих x, y . Це може бути зроблено за допомогою наступної теореми

Теорема. Нехай - два довільні числа. Квадратне рівняння

(*)

і система рівнянь

(**)

пов'язані один з одним таким чином: якщо z₁ , z₂ – корні квадратного рівняння (*), то система (**) має два розв ’язки:

і інших розв’язків не має; якщо x = a, y = b - розв ’язки системи (**), то числа a і b є коренями квадратного рівняння (*).

Доведення. Якщо z₁ і z₂ – корні квадратного рівняння (*), то по формулах Вієта

тобто числа

є розв’язками системи (**). Те, що інших розв’язків система (**) не має, витікає з останнього твердження теореми, яке ми зараз доведемо.

Отже, нехай x = a, y = b - розв’язок системи (**), тобто

ab =.

Тоді ми маємо

Але це означає, що числа a і b являються коренями квадратного рівняння (*). Теорема доведена.

Наведемо приклади.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь