Лабораторная работа: Методы интегрирования

Почему справедливо сделанное выше замечание?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции =, (і0), двумя прямыми = , = и осью OX , или площадь криво-линейной трапеции, ограниченной дугой графика функции = , в (рис.1), вычисляется по формуле :

рис 1.

Площадь фигуры , ограниченной графиками непрерывных функции и и двумя прямыми = , = (рис.2), определяется по формуле :

рис. 2

Пример1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной окружностью и параболой

Решение:

найдем точки пересечения кривых ( рис.3), решив систему уравнений

рис. 3

Используя симметрию относительно оси OX , найдем искомую площадь как удвоенную сумму площадей криволинейных трапеций ,ограниченных соответственно дугами параболы , 0ЈxЈ2 и окружностью.

Иногда удобно использовать формулы , аналогичные (1) и (2) , но по переменной (считая x функцией от ), в частности

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения =, =, прямыми = , = и осью OX, то площадь вычисляется по формуле :

где пределы интегрирование находятся из уравнений на отрезке .

Формула (4) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой ( изменения параметра t от до должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

Пример2. Найти площадь петли кривой

Решение: Найдем точки пересечения кривой с координатами осями. Имеем : x=0 при t=; y=0 при t=0, t=.Следовательно, получаем следующие точки:

при t=1; при t=-1;

при t=0; при t=.

Точка является точкой самопересечения кривой. При

При (рис.4).

График функции ; , при

Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее половины:

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами где - полярные координаты, или площадь криволинейного сектора , ограниченного дугой графика функции , , вычисляется по формуле:

Пример 3. Найти площадь лунки , ограниченной дугами окружностей Окружности пересекаются при ; рассматриваемая фигура ( рис.5) симметрична относительно луча .

График функции ; , при

Следовательно, ее площадь можно вычислять так: