Лабораторная работа: Методы интегрирования
Если - число целое, то мы получим выражение, изученное в I. Именно, если через обозначить наименьшее общее кратное знаменателей , то будем иметь выражение вида для рационализации которого достаточна подстановка .
Пусть - целое. Преобразуем теперь данное выражение подстановкой . Тогда и положив для краткости будем иметь
(3)
Если – целое число, то снова приходим к выражению изученного типа (2). Если обозначить через знаменатель дроби , то выражение будет иметь вид Рационализации подынтегрального выражения можно достигнуть сразу подстановкой:
Пусть- целое.
Перепишем второй из интегралов (3) так: При – целом снова имеем случай (2). Преобразованное выражение имеет вид: Подынтегральное выражение рационализируется сразу подстановкой .
Оба интеграла (3) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел: ; или одно из чисел ,
Пример 3. , где .
т. к. , то имеем 2-й случай интегрируемости.
Заметив, что , положим
Пример 4., где - третий случай интегрируемости, т. к. Заметив, что положим
III. Интегрирование выражений вида . Подстановки Эйлера.
Рассмотрим интеграл
(*)
где квадратный трехчлен не имеет равных корней.
Пусть >0. Тогда полагают . Возводя это равенство в квадрат, найдем отсюда:
Если полученные выражения подставить в (*) , то вопрос сведется к интегрированию рациональных функции от . В результате, возвращаясь к , нужно будет положить .
Пусть >0. В этом случае можно положить . Положим
Пусть имеем различные вещественные корни l и m .Тогда этот трехчлен разлагается на линейные множители Положим
Если подставить сюда , то получим
Применим 2-ую подстановку
; ;
=
Подставив получим
Варианты
Вычислить интегралы:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7
Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов
Опр. 1. Разбиением отрезка называется множество точек , таких что , внутри каждой части возьмем произвольную точку , набор точек называется разбиением с отмеченными точками