Лабораторная работа: Методы интегрирования

Вычислить интегралы:

В-1

Вопросы к лабораторной работе №5

1) Назовите универсальную подстановку, с помощью которой всегда достигается рационализация дифференциала вида (1) , и покажите, как ею пользоваться.

2) В каких условиях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой ? Приведите доказательство.

3) В каких случаях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой ? Приведите доказательство.

4) В каких случаях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой

?

5) Что такое «интегральный логарифм», «интегральный синус» и «интегральный косинус»?

6) Выведите рекуррентные формулы для вычисления интегралов вида .

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

Интегрирование выражений вида

Рассмотрим интеграл вида

, (1)

где означает рациональную функцию от двух аргументов, - натуральное число, постоянные, причем . Полагаем

;.

Интеграл (I) примет вид: здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как - рациональные функции.

Вычислив этот интеграл как интеграл от рациональной функции, вернемся к старой переменной, подставив .

К интегралу вида (I) сводятся и более общие интегралы

где все показатели – рациональны; стоит лишь привести эти показатели к общему знаменателю , чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию от и от радикала .

Пример 1.

Здесь дробно-линейная функция сводится к линейной функции:

Разложим данную дробь на простейшие

Приведем к общему знаменателю правую часть равенства и приравняем числители, получим:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях, получим систему уравнений: . Решив систему, получим .

Интегрирование биноминальных дифференциалов

Биноминальными называются дифференциалы вида

, (2)