Лабораторная работа: Методы интегрирования
Подстановка (*) называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример1. Вычислить интеграл
Решение: Сделаем подстановку , пользуясь (**), получим
=
В некоторых случаях можно использовать более простые подстановки. Рассмотрим эти случаи.
Замечание 1: Если целая или дробная рациональная функция не меняет своего значения при изменении знака у одного из аргументов, например, т. е. , то она может быть приведена к виду , содержащему лишь четные степени .
Если же, наоборот, при изменении знака функция так же меняет знак, т.е. , то она проводится к виду .
Рассмотрим три случая:
1. Пусть теперь меняет знак при изменении знака , тогда
и рационализация достигается подстановкой .
2. Аналогично, если меняет знак при изменении знака , то
,
так что здесь целесообразна подстановка .
3. Предположим, наконец, что функция не меняет своего значения при одновременном изменении знаков и : . В этом случае, заменяя на будем иметь: . По свойству функции R , если изменить знаки и (отношение при этом изменяется):
а тогда, как мы знаем .
Поэтому
=
Поэтому здесь используется подстановка .
Замечание 2. Каково бы ни было рациональное выражение , его можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных типов:
Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака , второе меняет знак при изменении , а третье сохраняет значение при одновременном изменении знаков и . Разбив на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку , ко второму - подстановку и, наконец, к третьему - подстановку . Таким образом, для вычисления достаточно этих трех подстановок.
Пример 2. Вычислить интеграл:
Решение: =
Если в выражение подставим в место , то дробь изменит знак на противоположный, поэтому здесь выгодна подстановка .
Пример 3. Вычислить интеграл
Решение: в этом случае можно сделать замену .
=
Интегралы от квадратов и других четных степеней и находят, применяя формулы понижение степени:
.
Задача. Интегрируя по частям, вывести формулы понижения степени: