Реферат: Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года

30. Приведите примеры линейно независимых векторов и функций в линейном пространстве.

31. Базис линейного пространства, разложение вектора по базису, координаты вектора u в базисе е₁ , е₂ … е _n . Примеры стандартных базисов в прстранстве Rⁿ .

32. Размерность линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Размерность линейного подпространства W линейного пространства V .

33. Линейные операции над свободными векторами в координатной форме в произвольном линейном пространстве.

34. Как определяется матрица перехода от старого базиса b к новому c ?

35. Какими свойствами обладает матрица перехода от старого базиса b к новому c ?

36. Сформулируйте теорему о разложении любого вектора линейного пространства по базису.

37. Запишите формулы преобразования координат вектора x линейного пространства L при переходе от старого базиса b к новому c .

38. Как определяется скалярное произведение двух векторов? Какое пространство называется евклидовым? Неравенство Коши-Буняковского.

39. Ортогональные векторы линейного пространства.

40. Понятие нормы вектора. Каким аксиомам подчиняется норма вектора?

41. Ортогональная система векторов. Является ли она линейно зависимой?

42. Понятие ортогонального и ортонормированного базисов линейного пространства.

43. Какую матрицу называют матрицей Грама и как вычисляются ее элементы?

44. Что называется процессом ортогонализации?

45. Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.

46. Составьте матрицу Грама для системы векторов е₁ =(1, -1, 2), е₂ =(1, 1, 1), е₃ =(1, 0, 1) трехмерного пространства.

47. Докажите, что для любых двух векторов а и с векторное уравнение a + x = c относительно x имеет решение, и при этом единственное.

48. Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с , если b₁ =-2с₁ -3с₂ -2с₃ , b₂ =7с₁ +8с₂ +9с₃ , b₃ =3с₁ +4с₂ +5с₃ .

49. Выясните, образует ли линейное пространство множество всех векторов данной плоскости, не параллельных данной прямой, если в качестве операций взяты операции сложения векторов и умножения вектора на число.

50. Выясните, образует ли множество функций вида а cos t +b sin t, t Î(-¥,¥), a,b ÎR, линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

51. Образует ли линейное пространство множество многочленов степени n относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число?

52. Образует ли линейное пространство множество функций, непрерывных на отрезке [a,b], относительно операций сложения функций и умножения функции на число?

53. Докажите, что множество матриц-столбцов высоты n образует линейное пространство относительно матричных операций сложения и умножения на число.

54. Докажите, что dim V₂ = 2, dim V₃ = 3.

55. Не проводя вычислений, выясните, является ли система векторов а₁ =(-4, 2, 3), а₂ = (-3, 5, 1), а₃ = (1,-7, 3), а₄ = (12,-5,4) линейно независимой?

56. Выясните, образуют ли векторы а₁ =(1, 0, 0, 0), а₂ = (1, 1, 0, 0), а₃ = (1,1, 1, 0), а₄ = (1,1,1, 1) базис в линейном арифметическом пространстве R⁴ ?

57. Может ли матрица А =быть матрицей перехода от одного базиса трехмерного пространства к другому?

58. Какой вид имеет матрица перехода от старого базиса к новому, если матрица перехода от нового базиса к старому является треугольной? Симметрической?