Реферат: Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло

при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R .

Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

Рис. 3

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S , выражается в полярных координатах в виде

Пример

Вычислить площадь области R , ограниченной линиями .

Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.

Следовательно, координаты точек пересечения равны

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:

Получаем

1.2 Геометрические приложения тройных интегралов

Геометрическое приложение - вычисление объема любого пространственного тела.

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен

В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример

Найти объем шара x ² + y ² + z ² ≤ R ² .

Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем

В результате получена известная формула для объема шара радиусом R .