Реферат: Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло

Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

· Длина кривой;

· Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;

· Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

Длина кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

где − производная, а − компоненты векторной функции .

Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

Если кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости Oxy , то длина такой кривой вычисляется по формуле

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением , и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy (рисунок 1). Тогда площадь области R , ограниченной данной кривой, определяется формулами

Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.

Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде , то площадь соответствующей области равна

Рис.1	Рис.2

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox

Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости y ≥ 0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C , обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R вокруг оси Ox образуется тело Ω (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами

1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются

• Площадь поверхности;
• Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

Площадь поверхности

Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом

Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора

то площадь поверхности будет равна