Реферат: Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло

где , G - гравитационная постоянная, − функция плотности.

Сила давления

Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле

Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать

где − единичный нормальный вектор к поверхности S .

Поток жидкости и поток вещества

Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости , то поток через поверхность S называется потоком жидкости . Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой

Аналогично, поток векторного поля , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением

Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.

Заряд поверхности

Пусть величина является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд , распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой

Теорема Гаусса

Поток электрического смещения через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:

где , − напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды, − диэлектрическая проницаемость вакуума.
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.

Пример

Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .

Воспользуемся формулой

Проекция D (x,y ) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать

Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем

Сделаем подстановку . Тогда . Здесь u = 1 при r = 0, и при r = 1. Следовательно, интеграл равен