Реферат: Интеграл Лебега

1.2.Интеграл Лебега для простых функций.

Мы введем поня­тие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений.

Пусть f— некоторая простая функция, принимающая зна­чения

y₁ , y₂ , … , y_n , … ; y_i y_j при ij ,

и пусть А — некоторое измеримое подмножество X.

Естественно определить интеграл от функции f по множе­ству А равенством

=, где A_n ={ x: xA, f( x)= y_n }, (1) если ряд справа сходится. Мы приходим к следующему опре­делению (в котором по понятным причинам заранее постули­руется абсолютная сходимость ряда).

Определение 2. Простая функция f называется интегри­руемой или суммируемой (по мере m) на множестве A, если ряд (1) абсолютно сходится. Если f интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от f по множеству А.

В этом определении предполагается, что все у _n различны. Можно, однако, представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида c_k m(B_k ) и не предпо­лагая, что все c_k различны. Это позволяет сделать следующая лемма.

Лемма . Пусть А= , B_i B_j = Æ при ij и пусть на каждом множестве B_k функция f принимает только одно значе­ние c _k ; тогда

= , (2) причем функция f интегрируема на А в том и только том слу­чае, когда ряд (2) абсолютно сходится.

Доказательство . Легко видеть, что каждое множество

А _n ={х: х ÎА, f( x)= y_n }

является объединением тех B_k , для которых с _k = y_n . Поэтому

= = .

Так как мера неотрицательна, то

= = ,

т. е. ряды и абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций

A) =+,

причем из существования интегралов в правой части равенства следует существование интеграла в левой.

Для доказательства предположим, что f принимает значения f_i на множествах F_i Ì A, ag — значения g_j на множествах G_j ÌA, так что

J₁ = = , (3)

J₂ = = . (4)

Тогда в силу леммы

J= = ; (5)

так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом

J=J₁ +J₂ .

Б) Для любого постоянного k