Реферат: Интеграл Лебега
= 
+ 
Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств.
Остается рассмотреть случай, когда
E = 
.
В этом случае
= mE,
так что при n ® ¥ будет
® 0. (*)
Заметив это, положим
= Rn .
Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то
= 
+ 
.
В силу теоремы о среднем
A × mRn £ 
£ B × mRn ,
а в силу (*) мера mRn множества Rn стремится к нулю с возрастанием n , откуда ясно, что
® 0.
Но это и означает, что
= 
Из этой теоремы вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f( x) и g( x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то
= 
.
Действительно, если
А = Е( f ¹ g), B = E( f = g) ,
то mA = 0 и
= 
= 0.
На множестве же В обе функции тождественны и
= 
.
Остается сложить это равенство с предыдущим.
В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.