Реферат: Интеграл Лебега

Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования, в котором точки x объединяются в множества e_k не по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку достаточной близости соответствующих значений функции. С этой целью Лебег разбивает на части не сегмент [ a, b], расположенный на оси абсцисс, а сег­мент [А, В], лежащий на оси ординат и включающий все значения функции f( x) :

A = y_o < y₁ < ¼ < y_n = B

Если составить множества e_k так:

e_k = E(y_k £ f < y_k+1 ),

то ясно, что различный точкам х Î е _k и в самом деле отвечают близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского процесса, сами точки x могут быть весьма далеки друг от друга.

В частности, хорошим представителем значений функции на мно­жестве e_k может служить, например, y_k , так что естественно поло­жить в основу понятия интеграла сумму

.

Перейдем теперь к точному изложению вопроса.

Пусть на измеримом множестве E задана измеримая ограниченная функция f( x), причем

A<f(x)<B. (1)

Разобьем сегмент [А, В] на части точками

y_o = A < y₁ < y₂ < ¼ < y_n = B

и соотнесем каждому полусегменту [у _k , у _k+1 ) множество

e_k = E(y_k £ f < y_k+1 )

Легко проверить четыре свойства множеств e_k :

1) Множества e_k попарно не пересекаются: e_k e_{k ¢} = 0 ( k ¹ k').

2) Эти множества измеримы.

3) E =

4) тЕ =

Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега s и S :

S = S =

Если мы положим

l = max (y_k+1 – y_k ),

то будем иметь

0 £ S – s £ l mE. (2)

Основное свойство сумм Лебега выражает

Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега s₀ и S₀ . Если ми добавим новую точку дробления и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется

s₀ £ s, S £ S₀ .

Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.