Реферат: Интеграл Лебега

y_i < < y_{i +1} . (3)

Тогда при k ¹ i полусегменты [ y_k , у _k+1 ), а с ними и множества e_k , фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же [ y_i , y_{i +1} ) при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами

[ y_i ,), [, y_{i +1} ),

в связи с чем и множество e_i разбивается на два множества

= E(y_i £ f < ), = E( £ f < y_i+1 ).

Очевидно, что

e_i = +, = 0,

так что

me_i = m + m. (4)

Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы s₀ заменой слагаемого y_i me_i двумя слагаемымиy_i m+ m, откуда, в связи с (3) и с (4), и следует, что s ³ s₀ .

Для верхних сумм рассуждение аналогично.

Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верхней суммы S.

Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления I и II, сегмента [А, В]. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s₁ и s₂ и верхние суммы S₁ и S₂ .

Составим третий способ дробления [А, В] - способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов I и II. Если способу III отвечают суммы s₃ иS₃ , то, в силу леммы, s₁ £ s₃ , S₃ £ S₂ , откуда, в связи с тем, что s₃ £ S₃ , ясно, что s₁ £ S₂ , а это и тре­бовалось доказать.

Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S₀ . Так как для всякой нижней суммы s будет s £ S₀ , то множество { s} всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть U есть его точная верхняя граница U = sup{ s}.

Тогда, ясно, что

U £ S₀ .

Ввиду произвольности суммы S₀ , последнее неравенство доказы­вает, что множество { S} всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Назовем через V его точную нижнюю границу

V = inf{ S}.

Очевидно, при любом способе дробления будет

S £ U £ V £ S.

Но, как мы отмечали, S – s £ l mE , откуда

0 £ V – U £ l mE

и, так как l произвольно мало, то

U = V.

Определение. Общее значение чисел U и V называется инте­гралом Лебега функции f( x) по множеству Е и обозначается символом

( L)

В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла исключено, пишут просто