Реферат: Интеграл Лебега

A £ £ B

или, что то же самое,

A × mE £ s £ B × mE,

откуда и в пределе

mE £ £ mE.

В силу произвольности числа n , теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.

Следствие 1. Если функция f( x) постоянна на измеримом множестве Е и f( x) = с, то

= c × mE.

Следствие 2. Если функция f( x) не отрицательна (не положи­тельна), то таков же и ее интеграл.

Следствие 3. Если тЕ = 0 , то для любой ограниченной функ­ции f( x), заданной на множестве Е, будет

= 0.

Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана изме­римая ограниченная функция f( x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекаю­щихся измеримых множеств

E = (E_k = 0, k ¹ k^’ ),

то

=

Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.

Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум

Е = + ( = 0).

Если на множестве Е

A < f(x) < B

и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у₀ , y₁ , ¼ , у _n , составим множества

e_k = E(y_k £ f < y_k+1 ),

e_k ^’ = E’(y_k £ f < y_k+1 ),

e_k ^’’ = E’’(y_k £ f < y_k+1 ),

то, очевидно, будем иметь

e_k = e_k ^’ + e_k ^’’ (e_k ^’ e_k ^’’ = 0),

откуда

= +