Реферат: Интеграл Лебега

( L)

Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограни­ченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, инте­грируема ( L) . Уже из этого замечания видно, что процесс интегри­рования ( L) приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования ( R). В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов ( R) имеют сравнительно сложный характер.

Теорема 1. Если l ® 0 , то суммы Лебега s и S стремятся

к интегралу

Теорема непосредственно вытекает из неравенств

S £ £ S, S – s £ l × mE.

Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение инте­грала Лебега, которое в силу самого определения его связано с числами А и В, насамом деле от них не зависит.

Действительно, допустим, что

A < f( x) < В, A < f( x) < B*,

причем В* < В. Раздробим сегмент [А, В] на части

A = у₀ < у₁ < ¼ < y_n = В,

причем включим и точку В* в число точек деления В* = у_т .

Если мы составим множества e_k , то легко убедиться, что

e_k = 0 (k ³ m).

Значит,

s = = = s*,

где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сег­мента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, най­дем, что

I = I*,

где I и I* суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегмен­там [А, В] и [А, В*]. Таким образом, изменение числа В не отра­жается на величине интеграла. То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора то­чек А и В.

3. Основные свойства интеграла

В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от огра­ниченной измеримой функции.

Теорема 1. Если измеримая функция f( x) на измеримом мно­жестве Е удовлетворяет неравенствам a £ f( x) £ b, то

a × mE £ £ b × mE.

Это теорема обычно называется теоремой о среднем.

Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим

A = a - , B = b + ,

то окажется, что

A < f( x) < B,

и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В].