Реферат: Классические методы безусловной оптимизации

(2')

,

- уравнения линий уровня

Итак, ОДР в рассматриваемой задаче представляет собой некоторую кривую, представленную уравнением (2').

Как видно из рисунка, точка является точкой безусловного глобального максимума; точка - точкой условного (относительного) локального минимума; точка - точка условного (относительного) локального максимума.

Задачу (1'), (2') можно решить методом исключения (подстановки), решив уравнение (2') относительно переменной , и подставляя найденное решение (1').

Исходная задача (1'), (2') таким образом преобразована в задачу безусловной оптимизации функции , которую легко решить методом Эйлера.

Метод исключения (подстановки).

Пусть целевая функция зависит от переменных:

называются зависимыми переменными (или переменными состояния); соответственно можно ввести вектор

Оставшиеся переменных называются независимыми переменными решения.

Соответственно можно говорить о вектор-столбце:

и вектора .

В классической задаче условной оптимизации:

(1)

(2)

Система (2) в соответствии с методом исключения (подстановки) должна быть разрешена относительно зависимых переменных (переменных состояния), т.е. должны быть получены следующие выражения для зависимых переменных:

(3)

Всегда ли система уравнений (2) разрешима относительно зависимых переменных - не всегда, это возможно лишь в случае, когда определитель , называемый якобианом, элементы которого имеют вид:

,

не равен нулю (см. соответствующую теорему в курсе МА)

Как видно, функции , должны быть непрерывными дифференцируемыми функциями, во-вторых, элементы определителя должны быть вычислены в стационарной точке целевой функции.

Подставляем из (3) в целевую функцию (1), имеем: