Реферат: Классические методы безусловной оптимизации
Перепишем (8) в виде
, (8')
Система (8') представляет собой систему из линейных уравнений относительно известных: . Система разрешима, если (вот почему, как и в методе исключения в рассматриваемом случае должно выполняться условие ). (9)
Поскольку в ключевом выражении (7) первая сумма равна нулю, то легко понять, что и вторая сумма будет равняться нулю, т.е. имеет место следующая система уравнений:
(10)
Система уравнений (8) состоит из уравнений, а система уравнений (10) состоит из уравнений; всего уравнений в двух системах, а неизвестных
: ,
Недостающие уравнений дает система уравнений ограничений (2):
,
Итак, имеется система из уравнений для нахождения неизвестных:
(11)
Полученный результат – система уравнений (11) составляет основное содержание ММЛ.
Легко понять, что систему уравнений (11) можно получить очень просто, вводя в рассмотрение специально сконструированную функцию Лагранжа (3).
Действительно
, (12)
, (13)
Итак, система уравнений (11) представима в виде (используя (12), (13)):
(14)
Система уравнений (14) представляет необходимое условие в классической задаче условной оптимизации.
Найденное в результате решение этой системы значение вектора называется условно-стационарной точкой.
Для того, чтобы выяснить характер условно-стационарной точки необходимо воспользоваться достаточными условиями.
5.3 Достаточные условия в классической задаче условной оптимизации. Алгоритм ММЛ
Эти условия позволяют выяснить, является ли условно-стационарная точка точкой локального условного минимума, или точкой локального условного максимума.
Относительно просто, подобно тому, как были получены достаточные условия в задаче на безусловный экстремум. Можно получить достаточные условия и в задаче классической условной оптимизации.
Результат этого исследования:
где - точка локального условного минимума.
где - точка локального условного максимума, - матрица Гессе с элементами