Реферат: Классические методы безусловной оптимизации

(5)

Исследуемая функция на экстремум можно произвести методом Эйлера – методом безусловной оптимизации непрерывно дифференцируемой функции.

Итак, метод исключения (подстановки) позволяет использовать задачу классической условной оптимизации преобразовать в задачу безусловной оптимизации функции - функции переменных при условии (4), позволяющим получить систему выражений (3).

Недостаток метода исключения: трудности, а иногда и невозможность получения системы выражений (3). Свободный от этого недостатка, но требующий выполнения условия (4) является ММЛ.

5.2. Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия в классической задаче условной оптимизации. Функция Лагранжа

ММЛ позволяет исходную задачу классической условной оптимизации:

(1)

(2)

Преобразовать в задачу безусловной оптимизации специально сконструированной функции – функции Лагранжа:

, (3)

где , - множители Лагранжа;

.

Как видно, представляет собой сумму, состоящую из исходной целевой функции и "взвешенной" суммы функций , - функции, представляющие их ограничения (2) исходной задачи.

Пусть точка - точка безусловного экстремума функции , тогда, как известно, , , или (полный дифференциал функции в точке ).

Используя концепция зависимых и независимых переменных - зависимые переменные; - независимые переменные, тогда представим (5) в развернутом виде:

(5')

Из (2) с очевидностью следует система уравнений вида:

, (6)

Результат вычисления полного дифференциала для каждой из функций

Представим (6) в "развернутом" виде, используя концепцию зависимых и независимых переменных:

, (6')

Заметим, что (6') в отличии от (5') представляет собой систему, состоящую из уравнений.

Умножим каждое -ое уравнение системы (6') на соответствующий -ый множитель Лагранжа. Сложим их между собой и с уравнением (5') и получим выражение:

(7)

Распорядимся множителями Лагранжа таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках под знаком первой суммы (иными словами, коэффициенты при дифференциалах независимых переменных , ) равнялось нулю.

Термин "распорядимся" множителями Лагранжа вышеуказанным образом означает, что необходимо решить некоторую систему из уравнений относительно .

Структуру такой системы уравнений легко получить приравняв выражение в квадратной скобке под знаком первой суммы нулю: