Реферат: Лекции по Математике 3
переменными, разделим переменные: или
, тогда его общий интеграл имеет вид:
или
.
Затем заменяем на
и получаем общий интеграл для уравнения (11).
Пример 6. Найти общее решение уравнения .
Решение. Сделаем замену , тогда
или
, подставляем в исходное
уравнение, получаем или
,
, разделяем переменные:
, тогда
, следовательно,
, возвращаемся к переменной
:
или
- это общее решение исходного уравнения.
Лекция 2.
II. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.
Определение 13. Функция называется однородной функцией
-ой степени однород-
ности, если при любых допустимых значениях справедливо равенство
(13)
Пример 7. Рассмотрим функцию . Данная функция является однородной
степени однородности 2, так как
.
Пример 8. Функция однородная степени однородности 0, так как
.
Определение 14. Уравнение (14)
называется однородным, если функции являются однородными одинаковой
степени однородности.
Однородное уравнение еще может записываться следующим образом
(15)
Решаются однородные дифференциальные уравнения с помощью замены:
, тогда
,
(для уравнения (14)),
( для уравнения
(15)). После замены уравнение станет уравнением с разделяющимися переменными и
.
Пример 9. Найти общий интеграл уравнения .
Решение. Уравнение можно записать следующим образом . Сделаем соответствую-щую замену и подставим в уравнение, получим:
или
, разделяем переменные, тогда
; интегрируем
, получаем
или
.
Теперь вернемся к прежней переменной или
- это общий