Реферат: Лекции по Математике 3
производных они равны; следовательно, выполняется равенство (28).
2. Достаточность: Пусть выполняется равенство (28); покажем, что существует функция
такая, что
.
Так как в этом случае , проинтегрировав это равенство по
, получим
. Продифференцируем полученное равенство по
, учитываем, что
и получаем
. Найдем функцию
.
(29)
Левая часть этого равенства не зависит от , убедимся, что и правая часть тоже не зависит
от , для этого продифференцируем правую часть по
, получаем
.
Интегрируем (29) по , получаем
, следовательно,
.
Получили искомую функцию.
Пример 14. Найти общий интеграл уравнения .
Решение. В данном уравнении . Проверим выполнение
равенства (28): , то есть равенство (28) выполняется, следовательно,
данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения –
полный дифференциал некоторой функции двух переменных . Тогда
,
проинтегрируем это равенство по , получаем:
.
Найдем , получаем
. Так как
, то имеет место
следующее равенство: , отсюда
, тогда
.
Значит общий интеграл исходного уравнения имеет вид:
.
Теперь все рассмотренные уравнения 1-ого порядка и методы их решения сведем в таблицу.
Таблица 1.
Тип уравнения 1-ого порядка | Метод решения |
1. Уравнение с разделенными переменными |
1. |
2. Уравнение с разделяющимися перемен- ными |
2. Проверка функций, удовлетворяющих
равенству |
3. Уравнение, приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными |
К-во Просмотров: 507
Бесплатно скачать Реферат: Лекции по Математике 3
|