Реферат: Лекции по Математике 3

производных они равны; следовательно, выполняется равенство (28).

2. Достаточность: Пусть выполняется равенство (28); покажем, что существует функция

такая, что .

Так как в этом случае , проинтегрировав это равенство по , получим

. Продифференцируем полученное равенство по , учитываем, что

и получаем . Найдем функцию .

(29)

Левая часть этого равенства не зависит от , убедимся, что и правая часть тоже не зависит

от , для этого продифференцируем правую часть по , получаем .

Интегрируем (29) по , получаем

, следовательно,

.

Получили искомую функцию.

Пример 14. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. В данном уравнении . Проверим выполнение

равенства (28): , то есть равенство (28) выполняется, следовательно,

данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения –

полный дифференциал некоторой функции двух переменных . Тогда ,

проинтегрируем это равенство по , получаем: .

Найдем , получаем . Так как , то имеет место

следующее равенство: , отсюда , тогда .

Значит общий интеграл исходного уравнения имеет вид:

.

Теперь все рассмотренные уравнения 1-ого порядка и методы их решения сведем в таблицу.

Таблица 1.

Тип уравнения 1-ого порядка	Метод решения
1. Уравнение с разделенными переменными	1. - общий интеграл
2. Уравнение с разделяющимися перемен- ными	2. -общий интеграл Проверка функций, удовлетворяющих равенству
3. Уравнение, приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными	« 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 » К-во Просмотров: 511 Бесплатно скачать Реферат: Лекции по Математике 3 >>> Скачать <<< Меню Поиск