Реферат: Лекции по Математике 3

или , а после потенцирования получаем

.

Сначала вернемся к переменной : или , теперь вер-

немся к переменным : или

- это общий интеграл исходного уравнения.

Пример 11. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Так как , то это уравнение, приводящееся к уравнению с разделяющимися

переменными. Сделаем замену , тогда или . Подставляем в

уравнение, получаем: или . Разделяем переменные , тогда

или , после потен-

цирования получаем: ; возвращаемся к переменной :

- это общий интеграл исходного уравнения.

III. Линейные неоднородные уравнения, уравнения Бернулли.

Определение 16. Уравнение 1-ого порядка, линейное относительно неизвестной функции и

ее производной, называется линейным уравнением.

Линейное уравнение имеет вид:

(22),

где - функции, заданные на некотором промежутке .

Если , то уравнение (22) называется линейным однородным; если , то уравне-

ние (22) называется линейным неоднородным.

Теорема 2. Если функции непрерывны на отрезке , то уравнение (22) всегда

имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию , где т.

принадлежит полосе .

Доказательство. Разрешим уравнение (22) относительно производной, то есть в виде уравнения

(3): , тогда , данная функция удовлетворяет условиям

теоремы 1, а именно, она непрерывна и по переменной и по переменной в силу условий теоремы и свойств непрерывных функций; частная производная функции по : ,

так как частная производная непрерывна отрезке, то она ограничена на данном отрезке.

Следовательно, по теореме 1 уравнение (22) имеет единственное решение, удовлетворяющее

указанным начальным условиям.

Метод вариации произвольной постоянной.