Реферат: Лекции по Математике 3

Лекция 1.

1.1 Общие понятия.

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее одну

или несколько независимых переменных, неизвестную функцию, зависящую от этих пере-менных и ее производные.

Определение 2. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, уравнение назы-

вается обыкновенным дифференциальным уравнением.

Определение 3. Если неизвестная функция зависит от двух или большего числа переменных,

уравнение называется уравнением с частными производными.

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать следующим образом:

(1)

где - заданная функция своих аргументов.

Определение 4. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей

производной, входящей в уравнение.

Пример 1.

1.

2.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения -ого порядка на промежутке

называется всякая функция , имеющая на данном промежутке производные до

-ого порядка включительно, и такая, что подстановка ее и ее производных в уравнение обра-

щает его в тождество по на .

Пример 2. Решением уравнения на всей числовой оси является функция .

Определение 6. График решения дифференциального уравнения называется интегральной

кривой. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегриро-

ванием дифференциального уравнения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-ого порядка:

(2)

Если его можно разрешить относительно производной, то получится уравнение:

(3)

Оно называется разрешенным относительно производной. Если уравнение невозможно разре-

шить относительно , то оно называется неразрешенным относительно производной.

Пример 3.

1.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--