Реферат: Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:
система не имеет решений;
система имеет ровно одно решение;
система имеет бесконечно много решений.
Пример: решить систему уравнений
x + y- z = 2,2
x- y + 4 z = 1,
x + 6 y + z = 5.
Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на - 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем - 3y + 6z = - 3. Это уравнение можно переписать в виде y- 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.
Таким образом, система приобрела треугольный вид
x + y- z = 2,
y- 2z = 1 ,y = 1.
Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.
Ответ: (1; 1; 0).
Системы уравнений второй степени.
В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.
При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.
Пример. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.
2x + y = 7,
xy = 6.
Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 - 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений
y = 7 - 2x,
7x- 2x2 = 6.
Квадратное уравнение - 2x2 + 7x- 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3/2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.
Решения имеют вид (2;3) и (1,5;4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.
Ответ: 5,5.
Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.
При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х2 для биквадратных уравнений и у = х + 1/х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.