Реферат: Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

Решение симметрических систем уравнений.

Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x, y) = P (y, x).

При решении систем уравнений вида

P₁ (x, y) = 0,

P₂ (x, y) = 0,

где P₁ (x, y) и P₂ (x, y) - симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V. Напомним, что любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.

Пример Решить систему уравнений

x² + xy + y² = 49,

x + y + xy = 23.

Решение. Заметим, что:

x² + xy + y² = x² + 2xy + y² -x

y = (x + y) ² -xy.

Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V.

Система примет вид:

U² -V = 49,

U + V = 23.

Сложив эти уравнения, получим уравнение U² + U- 72 = 0 с корнями U₁ = 8,U₂ = -9. Соответственно V₁ = 15, V₂ = 32. Остаётся решить системы уравнений:

x + y = 8,xy = 15,

x + y = -9,xy = 32.

Система x + y = 8, имеет решения:

x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5,

y₂ = 3.xy = 15.

Система x + y = - 9, действительных решений не имеет. Ответ: x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5, y₂ = 3.

Глава 2. Методика исследования данной работы

Методика исследовании.

Моя основная цель, найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Поэтому я решил использовать метод “Искусство", т.е. решать примеры нестандартно, придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных - его я тоже решил применить.

Итак, для решения проблемы я решил использовать два методы решений:

1. метод "Искусство" - "свой метод"