Реферат: Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать.

Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х² + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х² + 2х. Тогда уравнение примет вид

12/у - 3/ (у - 2) = 1 или (у² - 11у + 24) / (у (у - 2)) = 0,откуда y₁ = 3; y₂ = 8. Осталось решить уравнения х² + 2х = 3 (его корни х₁ = 1, х₂ = -3) и х² + 2х = 8 (его корни х₃ = 2, х₄ = -4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

Пример. Решим систему уравнений

2/х + 3/у = 8,5

/х - 2/у = 1.

Решение.

Обозначим 1/х через U, а 1/у через V.

Тогда система примет вид

2U + 3V = 8,5

U- 2V = 1,

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе: 5 (4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1/x = 1, 1/y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Однородные уравнения.

Пример Решим систему уравнений

8х² - 6ху + у2 = 0,

х² + у² = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у² .

Получится уравнение

8х^2/ у² - 6ху / у² + у^2/ у² = 0 или

8х^2/ у² - 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у.

Уравнение примет вид

8U² - 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U₁ = 0,5; U₂ = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1/2, либо x / y = 1/4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х² = 5, откуда х₁ = 1, х₂ = - 1; соответственно у₁ = 2, у₂ = - 2.

Во втором случае получается уравнение17х² = 5, откуда х₃ = Ö (5/17), x₄ = -Ö (5/17); соответственно y₃ = 4Ö (5/17), y₄ = - 4Ö (5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x² , 6xy, y² ), одна и та же - она равна двум. Поэтому после деления на y² каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.