Реферат: Поле комплексных чисел

a+b

b

a

0 Рис.5

x

Геометрический смысл модуля комплексного числа , при интерпретации чисел векторами, - длина вектора . Сумма комплексных чисел находится как сумма векторов.

п.6. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Определение. Аргументом комплексного числа называется число , равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором , определяется с точность до углов, кратных . Главным значением аргумента комплексного числа называется то значение , которое принадлежит промежутку , оно обозначается и .

Пусть записано в алгебраической форме . Тогда из геометрической интерпретации следует, что:

;

, если ;

, если ;

, если .

Заметим, что выражается только в радианах, не определён.

Теорема 4. Каждое комплексное число может быть записано в виде

.

Доказательство. Изобразим вектором комплексной плоскости,

см. Рис.6.

y

b a

Рис.6.

0 a x

Угол, образованный вектором и положительным направлением оси абсцисс, равен , следовательно, . Поэтому.

Определение. Если комплексное число записано в виде , то говорят, что записано в тригонометрической форме.

Правила действий с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Пусть комплексные числа записаны в тригонометрической форме

.

1) ,