Реферат: Поле комплексных чисел

Проверим, что кольцо коммутативно, то есть для .

Действительно,

.

Проверим, что - кольцо с единицей 1, то есть

.

Действительно,

.

Так как , то .

Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца обратим. Пусть , что равносильно . Рассмотрим пару и проверим, что эта пара является обратной к паре . Действительно,

.

Из выше доказанного следует, что алгебра - поле.

Определение. Поле называется полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами.

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать , то есть . Приняты также следующие обозначения:

для .

Теорема 2. Каждое комплексное число может быть, и притом единственным образом, записано в виде:

, где . (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).

Доказательство. Существуют такие, что . Имеем

.

Теорема 3. Число обладает свойством: .

Доказательство. .

Из равенства следует, что .

Определение. Пусть , где . Число называется действительной частью, - мнимой частью комплексного числа . Пишем .

Пусть - алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:

если , то ;

если , то .

Определение. Если , то комплексное число называют чисто мнимым числом.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1) Для